什么是遞歸

　　百度百科：程序調(diào)用自身的編程技巧稱為遞歸（recursion）。

　　遞歸問(wèn)題分析的核心

　　一個(gè)合法的遞歸定義包含兩個(gè)部分：基礎(chǔ)情況和遞歸部分。

　　分析一個(gè)遞歸問(wèn)題就是列出遞歸定義表達(dá)式的過(guò)程。

　　上面那個(gè)電影院排數(shù)的問(wèn)題表達(dá)式可以列為：

　　幾個(gè)經(jīng)典題目

　　斐波那契數(shù)列

　　斐波那契數(shù)列的排列是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次類推下去，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，它后一個(gè)數(shù)等于前面兩個(gè)數(shù)的和。在這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字，就被稱為斐波那契數(shù)。

　　遞歸思想：一個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)的和。(這并不是廢話，這是執(zhí)行思路)

　　首先分析數(shù)列的遞歸表達(dá)式：

　　代碼如下:

　　可以看到，遞歸寫法簡(jiǎn)單優(yōu)美，省去考慮很多邊界條件的時(shí)間。當(dāng)然，遞歸算法會(huì)保存很多的臨時(shí)數(shù)據(jù)，類似于堆棧的過(guò)程，如果棧深太深，就會(huì)造成內(nèi)存用盡，程序崩潰的現(xiàn)象。Java為每個(gè)線程分配了棧大小，如果棧大小溢出，就會(huì)報(bào)錯(cuò)，這時(shí)候還是選擇遞推好一點(diǎn)。

　　觀察下面的執(zhí)行過(guò)程也會(huì)發(fā)現(xiàn)，本程序并沒(méi)有保存每次的運(yùn)算結(jié)果，第三行的F(7)就執(zhí)行了兩次，下層的F(1),F(2)的次數(shù)更是指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。這也是本程序的一個(gè)弊端。

　　斐波那契執(zhí)行過(guò)程：

　　階乘

　　遞歸思想：n!=n*(n-1)!(直接看公式吧)

　　首先分析數(shù)列的遞歸表達(dá)式：

　　代碼如下:

　　執(zhí)行過(guò)程如下：

　　倒序輸出一個(gè)正整數(shù)

　　例如給出正整數(shù)n=12345，希望以各位數(shù)的逆序形式輸出，即輸出54321。

　　遞歸思想：首先輸出這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，然后再輸出前面數(shù)字的個(gè)位數(shù)，直到之前沒(méi)數(shù)字。

　　首先分析數(shù)列的遞歸表達(dá)式：

　　代碼如下:

　　漢諾塔

　　超經(jīng)典了的遞歸解決問(wèn)題了：

　　法國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·盧卡斯曾編寫過(guò)一個(gè)印度的古老傳說(shuō)：在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時(shí)候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個(gè)僧侶在按照下面的法則移動(dòng)這些金片：一次只移動(dòng)一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預(yù)言，當(dāng)所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡。

　　數(shù)學(xué)描述就是：

　　有三根桿子X(jué)，Y，Z。X桿上有N個(gè)(N>1)穿孔圓盤，盤的尺寸由下到上依次變小。要求按下列規(guī)則將所有圓盤移至Y桿：

　　1.每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤；

　　2.大盤不能疊在小盤上面。

　　遞歸思想：

　　1.將X桿上的n-1個(gè)圓盤都移到空閑的Z桿上，并且滿足上面的所有條件

　　2.將X桿上的第n個(gè)圓盤移到Y(jié)上

　　3.剩下問(wèn)題就是將Z桿上的n-1個(gè)圓盤移動(dòng)到Y(jié)上了

　　公式描述有點(diǎn)麻煩，用語(yǔ)言描述下吧：

　　1.以Y桿為中介，將前n-1個(gè)圓盤從X桿挪到Z桿上(本身就是一個(gè)n-1的漢諾塔問(wèn)題了！)

　　2.將第n個(gè)圓盤移動(dòng)到Y(jié)桿上

　　3.以X桿為中介，將Z桿上的n-1個(gè)圓盤移到Y(jié)桿上(本身就是一個(gè)n-1的漢諾塔問(wèn)題了！)

　　代碼如下：

　　執(zhí)行過(guò)程：

　　如果一秒鐘移動(dòng)一次，世界毀滅需要多長(zhǎng)時(shí)間呢？5845.54億年以上，而地球存在至今不過(guò)45億年，地球現(xiàn)在還是很安全的。

　　排列問(wèn)題

　　輸入一個(gè)字符串，打印出該字符串中字符的所有排列。例如輸入字符串a(chǎn)bc，則輸出由字符a、b、c所能排列出來(lái)的所有字符串a(chǎn)bc、acb、bac、bca、cab和cba。

　　遞歸思想：

　　假如針對(duì)abc的排列，可以分成(1)以a開頭，加上bc的排列(2)以b開頭，加上ac的排列(3)以c開頭，加上ab的排列

　　本題用遞歸算法很巧妙，省去了用普通方法時(shí)保存數(shù)據(jù)狀態(tài)的繁瑣操作！